Nata a Parigi da padre francese e da madre inglese, si è trasferita con suo padre all'età di sette anni in Giappone, per poi tornare in Francia a tredici anni. Finiti gli studi, si è trasferita a Londra, per perseguire il suo sogno di diventare un'attrice, intraprendendo anche la carriera di modella. Nel 2013 la Martin ha recitato nel ruolo della giovane Joe nel film di Lars von Trier "Nymphomaniac". Per questo ruolo è stata candidata al Premio Bodil per la miglior attrice protagonista. In seguito al grande successo riscosso dalla sua performance in "Nymphomaniac", Stacy è stata chiamata a recitare a fianco di Tom Hiddleston, Jeremy Irons e Luke Evans nel film "High-Rise" (2015) di Ben Weathley, e in seguito nel film di Matteo Garrone "Il racconto dei racconti - Tale of Tales", affiancata da Vincent Cassel. Sempre nel 2015 recita anche in "Taj Mahal", diretto da Nicolas Saada, con Alba Rohrwacher e Gina McKee, presentato nella sezione Orizzonti della 72ª Mostra internazionale d'arte cinematografica di Venezia. Nel 2017 recita in "Le redoutable" di Michel Hazanavicius, presentato in concorso al Festival di Cannes, dove interpreta la protagonista in una storia biografica incentrata sul rapporto sentimentale e lavorativo tra il regista Jean-Luc Godard e l'attrice Anne Wiazemsky.